Студенческий меридиан
Журнал для честолюбцев
Издается с мая 1924 года

Студенческий меридиан

Найти
Рубрики журнала
40 фактов alma mater vip-лекция абитура адреналин азбука для двоих актуально актуальный разговор акулы бизнеса акция анекдоты афиша беседа с ректором беседы о поэзии благотворительность боди-арт братья по разуму версия вечно молодая античность взгляд в будущее вопрос на засыпку встреча вузы online галерея главная тема год молодежи год семьи гражданская смена гранты дата дебют девушка с обложки день влюбленных диалог поколений для контроля толпы добрые вести естественный отбор живая классика закон о молодежи звезда звезды здоровье идеал инженер года инициатива интернет-бум инфо инфонаука история рока каникулы коллеги компакт-обзор конкурс конспекты контакты креатив криминальные истории ликбез литературная кухня личность личность в истории личный опыт любовь и муза любопытно мастер-класс место встречи многоликая россия мой учитель молодая семья молодая, да ранняя молодежный проект молодой, да ранний молодые, да ранние монолог музей на заметку на заметку абитуриенту на злобу дня нарочно не придумаешь научные сферы наш сериал: за кулисами разведки наша музыка наши публикации наши учителя новости онлайн новости рока новые альбомы новый год НТТМ-2012 обложка общество равных возможностей отстояли москву официально память педотряд перекличка фестивалей письма о главном поп-корнер портрет посвящение в студенты посмотри постер поступок поход в театр поэзия праздник практика практикум пресс-тур приключения проблема прогулки по москве проза профи психологический практикум публицистика путешествие рассказ рассказики резонанс репортаж рсм-фестиваль с наступающим! салон самоуправление сенсация след в жизни со всего света событие советы первокурснику содержание номера социум социум спешите учиться спорт стань лидером страна читателей страницы жизни стройотряд студотряд судьба театр художника техно традиции тропинка тропинка в прошлое тусовка увлечение уроки выживания фестос фильмоскоп фитнес фотокласс фоторепортаж хранители чарт-топпер что новенького? шаг в будущее экскурс экспедиция эксперимент экспо-наука 2003 экстрим электронная москва электронный мир юбилей юридическая консультация юридический практикум язык нашего единства
Голосование
Редакционный совет

Ростовцев Юрий Алексеевич
Главный редактор издания

Репина Ирина Павловна
Генеральный директор издания


Святослав Бэлза, Юлия Казакова, Ольга Костина, Кирилл Молчанов, Тимур Прокопенко, Владимир Ситцев, Людмила Швецова, Кирилл Щитов, Валентин Юркин


Наши партнеры










Номер 05, 2008

ЭШЕР: ТАЙНА НЕОКОНЧЕННОГО РИСУНКА

Лабиринт кривых и деформированных квадратов, растянутый, скрученный, сходится к пустой зоне в центре. «Выставка эстампов» – не самое известное произведение голландца Морица Корнелиуса Эшера (1898–1972), но самое удивительное из-за своей недосказанности.

Гений искажения

 

Этот хрустальный шар, в котором отражается искаженное изображение художника, является одним из многочисленных автопортретов Эшера (1935)

Математик Лейденского университета (Голландия) Хендрик Ленстр и его коллеги смогли восстановить оставленное пустым пространство. Чуть позже с этими опытами познакомился Франсуа Бержерон из Квебекского университета (Монреаль). Он всегда стремился перебросить мост между наукой абстракций и другими дисциплинами. После обсуждения проблемы с братом Жаном, кинорежиссером, началась работа над документальным фильмом. Его главная тема – странная близость художественных и математических подходов...

Еще детьми братья познакомились со странными рисунками Эшера: переплетающиеся геометрические формы, изображавшие логические сцены. Лестницы вели в безупречные перспективы на верхний этаж, откуда отходило несколько коридоров. Каждый мог мысленно пойти по дороге виртуального пешехода, всходя по ступенькам и оказываясь наверху конструкции...

Но, несмотря на художественную логику, реализация подобной картины-структуры оставалась недоступной для архитекторов. Эти логические произведения всегда поражали и математиков. Да, их автор не мог не быть гением перспективы, виртуозом симметрии и искажения пространства. Не имея математического образования, без компьютера, необходимого для точного расчета и начертания, Эшер творил, по оценке ученых, невозможное...

Автоподобие как прием

На литографии «Выставка эстампов» (1956) на первом плане окно, через которое наблюдатель различает человека, рассматривающего картины, развешанные на стене выставочного зала.

Одна из работ представляет собой порт с рядом зданий и судном. По мере того, как взгляд уходит направо, здания вырываются за рамку, потом за оконный переплет в движении скручивания... тогда как один этаж остается той же галереей, где стоит наблюдатель. Таким образом он оказывается включенным в эстамп, на который смотрит. В какой-то мере наблюдает сам себя...

Эта первая характеристика называется в математике автоподобием. Самым ярким примером является коробка плавленого сыра «Веселая буренка»: серьги коровы являются изображением веселой буренки, серьги которой... и так далее. К этому автоподобию Эшер добавил скручивание, деформирующее рисунок. Убегающие линии заканчиваются в центре литографии, где внезапно обнаруживается пустота.

Это пустое пространство возбудило умы. Многие увидели в нем техническую невозможность продолжать головокружительное схождение к одной точке, другие заговорили об эстетике неоконченного произведения, кое-кто клялся, что загадочная пустота ставит вопросы. А несколько пуристов утверждали, что пустота внутренне присуща самой работе художника.

Жан Бержерон подхватывает:

– Когда студентом я изучал науку познания, у меня был преподаватель, который учился у знаменитого Дугласа Хофштадера, ныне профессора познавательных дисциплин Мичиганского университета и автора знаменитой книги, в которой он комментирует «Выставку эстампов» Эшера. Он пишет: «Если это пятно выглядит дефектом, то этот дефект, быть может, является частью наших ожиданий, ибо Эшер не мог закончить эту часть картины, не нарушив законы, по которым рисовал». И заключал: центр спирали не закончен и должен быть неполным. Эта мысль меня смущала, словно ставила границы духу...

Через двадцать лет, узнав от брата, что произведение Эшера закончено, Жан Бержерон решает восстановить свою связь с прошлым и сделать документальный фильм про эту удивительную историю. Он отыскивает Хендрика Ленстра и его коллег, чтобы начать рассказ о том, как распутывался этот клубок.

Разгадка пространства

Детали под лупой
«Выставка эстампов», незаконченное произведение Эшера с незаполненным центром, выводит на сцену путем вращения и скручивания наблюдателя, который наблюдает за самим собой. Детали выявляются под лупой и при увеличении всей картины.

Хендрик Ленстр преподает в Калифорнийском университете в Беркли и читает лекции в Лейденском университете. Однажды в полете из Нью-Йорка в Амстердам он листал журнал и наткнулся на репродукцию «Выставки эстампов». Он знал эту литографию, но впервые смотрел на нее взглядом математика. Во время полета Ленстр пришел к выводу, что кривые следуют математическому закону, который надо обнаружить, чтобы заполнить пустое пространство.

Прибыв в Амстердам, он начинает поиски документов и попадает на знаменитую книгу «Магия Эшера». Ее под псевдонимом Бруно Эрнст написал Ханс де Рийк, друг Эшера. Так Ленстр узнал, что художник сначала построил деформированную сетку для размещения рисунка элемент за элементом. Вместе с математиком Бартом де Смитом он нашел теоретическое обоснование. Теперь следовало отыскать технические средства, чтобы заполнить центр рисунка: цифровое программирование, расчет, использование тех же способов. Все это делалось без отрыва от преподавательской деятельности и другой исследовательской работы. Через три года линии знаменитой картины продолжились до самого центра.

Первым этапом было изучение деформированной сетки Эшера: бесконечное круговое расширение, закрытое расширение в форме кольца без какого-либо начала и конца. Если взять лупу для увеличения рисунка и рассмотрения деталей, глядя против хода часовой стрелки, измерения оказываются разделенными на четыре в каждом углу. Так, молодой человек в нижнем левом углу изображен вчетверо меньшим, чем воспроизведен вверху слева, в 16 раз – вверху справа, в 64 – внизу справа и в 256 раз меньше, если вернуться к точке старта... Таким образом, он изображен в одном и том же месте в двух разных масштабах. Поскольку рисунок автоподобен, та же фигура испытала увеличение в 256 раз.

После того, как решилась проблема расширения, исследователи занялись скручиванием. Когда информатик кликает на несколько точек, чтобы получить скрученное изображение, он использует комплексные числа. Математики пользуются ими для работы в плоскости. Тогда как целые числа (1, 2, 3...) и десятичные (1,1...) могут размещаться на градуированной линейке, комплексные представлены точкой на плоскости и обладают «абсциссой» и «ординатой», проекциями на две перпендикулярные оси плоскости. Они необходимы для описания колебаний, периодики, то есть для многих природных явлений – от орбит планет до электрических схем...

Автоподобие, использование комплексных чисел – вот два следа для расшифровки литографии Эшера. Но лейденская группа тут же выявила еще одну деталь, появляющуюся уже в описании самого Эшера: между выпрямленной решеткой и решеткой Эшера углы имеют одинаковую величину. Скручивание таково, что прямые углы остаются прямыми даже при скрученной решетке. Картографы хорошо знают этот вид трансформации, который сохраняет углы и позволяет найти на проекции карты реальные расстояния между двумя городами. Подобные трансформации называются тождественными. Так может быть решена загадка этой картины.

Математическая проблема потребовала концептуальной работы с использованием качеств определенного класса кривых, который математики называют эллиптическими. Исследователи нашли математическое уравнение, которое послужило основой для «Выставки эстампов». И теперь могли воссоздать картину полностью... В центре расположены перекрученные здания и крохотные детали.

Что касается пуристов, защищавших необходимость пустого пространства, они среагировали, заявив, что произведение художника не может быть закончено... математиками.

Ленстр отвечает так:

– Уверен, Эшеру понравилась бы эта попытка. Кроме того, мы никогда не представляли нашу работу как художественное произведение.

Невозможная структура, содержащая опасно жесткую математическую логику. И сам художник любил повторять: «Я пытаюсь показать в своих эстампах, что мы живем в прекрасном и организованном мире».

ЭШЕР И МАТЕМАТИКА

Когда Эшер закончил «Выставку эстампов», к нему пришли два математика и сказали: «Вы нарисовали риманово пространство». Увидев удивление художника, они объяснили, что это не используется в обычной жизни, но существует в отделе математики, называемом неэвклидовой геометрией, где сумма углов треугольника не обязательно равна 180о, как мы обычно узнаем в школе. Если нарисовать треугольник на сфере, его площадь будет больше площади такого же треугольника, нарисованного на бумаге. Такая странноватая поверхность используется для описания пространства-времени в общей теории вероятности Эйнштейна с провалами и выступами в зависимости от представленных масс: более или менее эластичная ткань, деформированная массой фигурирующих там объектов...

Одна из геометрических фигур объясняет невозможность конструкций Эшера. Это – тройная балка. Математический объект, также называемый треугольник Пенроуза, был открыт знаменитым английским физиком сэром Роджером Пенрозуом. Речь идет о трех квадратных балках, попарно соединенных под прямым углом. В различных перспективах можно заключить, что треугольник заключен в одну плоскость. Использование таких объектов и делает творчество Эшера визуально логическим и нереализуемым. Никогда не изучавший математику Эшер говорил: «Но вы же не знаете, что у меня в голове».

Эшер использует такие же невозможные математические объекты, как эти три балки, стороны которых попарно перпендикулярны, но которые могут казаться при некоторых ракурсах закрытым треугольником.

ЭТАПЫ ВОССОЗДАНИЯ

Как заполнить пустоту в центре «Выставки эстампов»? Ленстр (внизу) вначале отыскал сетку скручивания (слева), использованную Эшером. Потом исследователи попытались понять математическую структуру, которая скрывалась за этими изогнутыми линиями. Они поняли, что речь идет о комбинации нескольких функций: расширение, скручивание, тождественная проекция, операция, которая сохраняет углы сетки. Используя эти математические правила, ученые рассчитали различные этапы воссоздания изображения (1, 2, 3 и 4), которое и будет помещено в центр «Выставки эстампов». Окончательный рисунок (справа) трудно выполнить. Здесь представлена работа голландской художницы Жаклин Хофстра.


К началу ^

Свежий номер
Свежий номер
Предыдущий номер
Предыдущий номер
Выбрать из архива